Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục …

Like Comment

Note: Sau đây là bài viết Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục … được chúng tôi chọn lọc, bài viết luôn được đội ngũ admin cập nhật thường xuyên. Rất mong nhận được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn, xin chân thành cảm ơn!

Bài viết dưới đây sẽ giúp ta biết cách xét tính liên tục của hàm số, vận dụng giải các dạng bài tập về hàm số liên tục như: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm (x=0), trên một đoạn hay một khoảng, tìm các điểm gián đoạn của hàm số, hay chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số liên tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

– Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu:

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

– Hàm số f(x0) không liên tục tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

– Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

– Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoan [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

3. Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục

Định lý 1:

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lý 2:

– Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x) và f(x).g(x) liên tục tại x0.

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

• Định lý 3:

– Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0.

II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0.

* Phương pháp:

– Bước 1: Tính f(x0)

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

– Bước 4: Kết luận.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x+ 2x – 1 tại x0=3.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

– Ta có: f(x) = x3 + 2x – 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 – 1 = 32

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

⇒ f(x) liên tục tại x0 = 3.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết:

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

b) Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x= 2.

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

– Ta có: g(2) = 5.

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

⇒ g(x) không liên tục tại x0 = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x0 = 2 thì:

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

– Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số liên tục tại x0 = 2.

* Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1.

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

° Lời giải ví dụ 3:

– Ta có: f(1) = 1

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

⇒ Vậy hàm số f(x) không liên tục (gián đoạn) tại điểm x = 1.

* Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0.

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

° Lời giải ví dụ 4:

– Ta có: f(0) = 02 – 2.0 + 2 = 2.

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

⇒ Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

– Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

– Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng (-7;+∞).

° Lời giải:

• Khi x > 2 thì f(x) = x2 – x + 4 là hàm liên tục trên khoảng (2; +∞).

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

– Hàm số y = x – 2 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)

– Hàm số y = x + 7 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

• Khi x = 2 thì f(2) = 22 – 2 + 4 = 6.

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2.

– Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-7;+∞).

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

° Lời giải:

• Khi x < 3 thì f(x) = 1 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (-∞;3)

• Khi 3 < x < 5 thì f(x) = ax + b là đa thwucs nên nó liên tục trên khoảng (3;5)

• Khi x > 5 thì f(x) = 3 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (5;+∞).

• Khi x = 3 thì f(3)  = 3a + b

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

• Khi x = 5 thì f(5)  = 5a + b

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 5 thì:

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

– Vậy khi a = 1 và b = -2 thì hàm số f(x) liên tục trên R, khi đó:

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

° Lời giải ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11):

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

 x2 + x – 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 và x ≠ -3.

 ⇒ TXĐ: D = R{-3;2}

– Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (-∞;-3), (-3;2) và (2;+∞).

• Hàm số g(x) = tanx + sinx xác định khi và chỉ khi:

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

° Dạng 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)

* Phương pháp: x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thông thường x0 thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

1) f(x) không tồn tại

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

* Ví dụ: Cho a và b là hai tham số, tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau:

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

° Lời giải:

– TXĐ: R nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x = 0 và x = 3.

• Tại x = 0.

– Ta có: f(0) = a và

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

⇒ x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số.

• Tại x = 3.

– Ta có: f(3) = b và

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

° Dạng 4: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

* Phương pháp: 

1) Chứng mình phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

– Tìm hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0

– Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

– Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (a;b).

2) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm

– Tìm k cặp số ai, bi sao cho các khoảng (ai; bi) rời nhau và:

 f(ai).f(bi) < 0, i =1, 2,… , k

– Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xi (ai; bi).

3) Khi phương trình f(x) = 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho:

– f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi.

– Hoặc f(a), f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.

* Ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình:

a) 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) cosx = x có nghiệm

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11):

a) Đặt f(x) = 2x3 – 6x + 1

– TXĐ: D = R

– f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

– Vậy ta có:

 f(-2) = 2.(-2)3 – 6(-2) + 1 = – 3 < 0

 f(0) = 1 > 0

 f(1) = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0

⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) Xét hàm số g(x) = x – cosx liên tục trên R.

– Do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:

 g(-π) = -π – cos(-π) = -π + 1 < 0

 g(π) = π – cosπ = π – (-1) = π + 1 > 0

⇒ g(-π). g(π) < 0

⇒ Phương trình x – cosx = 0 có nghiệm trong khoảng (-π; π)

⇒ Phương trình cosx = x có nghiệm.

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

° Lời giải ví dụ 2:

• Đặt f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1

– Ta có: f(0) = -1; f(-1) = m2 + 1

⇒ f(0).f(-1) = -1.(m2 + 1) = -(m2 + 1) < 0, ∀m ∈ R.

– Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1;0]

⇒ Phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (-1;0)

⇒ Phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

* Ví dụ 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong [0;1/3].

° Lời giải ví dụ 3:

• Đặt f(x) = ax2 + bx + c ; (a ≠ 0) liên tục trên R

Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

– Vậy phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)  có nghiệm trong đoạn [0;1/3].

Lời kết: Bài viết dưới đây sẽ giúp ta biết cách xét tính liên tục của hàm số vận dụng giải các dạng bài tập v

Có thể bạn thích
Tác giả: Sharescript.net

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.